Aubrey Joseph débute sa carrière sur les planches, à Broadway. Il y incarne Simba dans la comédie musicale du Roi Lion. Le jeune homme rejoint ensuite le casting d'Apprenti Gigolo, aux côtés de Woody Allen ou encore Vanessa Paradis. Ce rôle mineur de Cefus lui permet de mettre un pied dans le monde du cinéma et de tourner sous la direction de John Turturro.
Aubrey est également, le temps d'un épisode de la saison 15 de New York Unité Spéciale, un ado grièvement blessé par le détective Amaro (Danny Pino). Deux ans plus tard, il fait partie du casting de The Night Of, dans laquelle il retrouve John Turturro, cette fois-ci devant la caméra. Dans cette mini-série plébiscitée par le public et la critique, Aubrey Joseph se glisse dans la peau du fils de John Stone, l'avocat à la petite semaine interprété par Turturro.
2018 signe son arrivée dans la famille Marvel, avec la nouveauté Cloak & Dagger. Face à sa fidèle acolyte, Dagger (Olivia Holt), Aubrey Joseph incarne Tyrone Johnson, alias Cloak, un super-héros qui s'allie à celle qu'il aime pour consolider leurs forces. Adaptée des comics du même nom par Joe Pokaski, la série a la particularité de mettre en avant un couple de super-héros mixte.
Laura Alliche