Née en 1992, Claire Chust se passionne pour l’art dramatique durant son adolescence. Elle débute ainsi sur les planches avant de rejoindre les bancs de l'Université de la Sorbonne-Nouvelle et d’y obtenir une licence de théâtre. En parallèle, elle se forme au Conservatoire de Bourg-la-Reine ainsi qu’à l’Ecole départementale de théâtre du 91.
Elle fait ses débuts devant la caméra en 2013 avec un second rôle dans le long métrage La Vie domestique porté par Emmanuelle Devos. L’année suivante, son nom apparaît au générique de La Crème de la crème de Kim Chapiron dans un autre rôle secondaire. Controversé, le film met en scène trois étudiants d’une prestigieuse école de commerce utilisant leurs connaissances à des fins illégales: créer un réseau de prostitution. Par la suite, l’actrice en herbe enchaîne les courts-métrages et projets publicitaires. En 2016, on la retrouve notamment dans Au bout de la rue de Maxime Gaudet, un court-métrage immersif dénonçant le harcèlement dont font l’objet de nombreuses femmes dans les rues la nuit.
La timide carrière de la comédienne décolle peu à peu lorsqu’elle décroche le rôle de Maeva, une jeune fille ingénue qui parle aux arbres dans la comédie apocalyptique d’Eric Judor, Problemos (2017). La même année, elle fait une courte apparition dans une autre comédie, Les Nouvelles Aventures de Cendrillon de Lionel Steketee dans laquelle elle donne la réplique à Arnaud Ducret. Mais c’est finalement grâce à la télévision que Claire Chust se fait connaître: elle tourne tout d’abord dans l’épisode prime “Aventure sous les tropiques” du programme à succès Scènes de ménages, diffusé en février 2018. Dans cet épisode spécial intégralement tourné à La Réunion, Claire Chust incarne Mélodie, très jeune petite amie du père de Philippe (Grégoire Bonnet). C’est pendant ce tournage que les producteurs décident de lui offrir une autre place dans la série, cette fois plus permanente. Elle sera la seule actrice auditionnée pour le rôle de Leslie, une jeune femme issue d’un milieu populaire et élevée par une mère célibataire qui vient tout juste d’emménager avec son petit ami Léo, un fils à papa sympathique. Elle forme ainsi, aux côtés de Vinnie Dargaud, le tout nouveau couple du programme après le départ d’Audrey Lamy et Loup-Denis Elion en août 2018.
Entre temps, Claire Chust s’est également illustrée dans Guépardes, un programme au format court diffusé sur TF1 Séries Films en 2018. La comédie suit quatre femmes agents dans les coulisses de l’industrie du disque et notamment d’un label féminin dirigé par un patron misogyne et représentant des artistes aux égos surdimensionnés. L’actrice y prête ses traits à la gentille et naïve Elsa, un rôle haut en couleur.
En parallèle de sa carrière télévisuelle, Claire Chust retrouve le cinéma en 2019 avec la comédie Damien veut changer le monde de Xavier De Choudens dans laquelle elle joue aux côtés de Franck Gastambide, Camille Lellouche et Gringe.