Jenny Clève débute sa carrière au conservatoire de Roubaix et y remporte le prix d'honneur. Après des débuts sur les planches et à la télévision (notamment Les Enquêtes du commissaire Maigret), elle fait ses premiers pas au cinéma dans Les Chemins de la violence d'Alejandro Martí (1973).
On la retrouve tour à tour en femme de chambre, infirmière, mère supérieure, employée, foraine et elle incarne déjà une grand-mère dans F... comme Fairbanks en 1976, alors qu'elle n'a que 46 ans.
En 1983, elle interprète peut-être son rôle le plus marquant, celui de Madame Montechiari, le personnage nuancé de la mère de "Pin Pon" (Alain Souchon) dans L'Eté meurtrier de Jean Becker.
SNC
Le film est un énorme succès et met un coup de projecteur sur la comédienne, tout en la cantonnant au rôle de "maman du cinéma". Elle est ainsi la mère de Philippe Léotard (Hiver 60), d'Elisa Servier (Partenaires de Nicole Garcia), de Sandrine Bonnaire (Le Meilleur de la vie), de Patrick Braoudé (XY) ou de Miou-Miou (Une vie comme je veux).
A partir de 1993, on la retrouve co-présentatrice de l'émission de cuisine Goûtez-moi ça présentée par le chef Pierrot de Lille, une émission qui durera jusqu'en 2008 ! On la voit donc animer et jouer les commis dans une émission bon enfant qui devient rapidement populaire.
Pathé
Durant la décennie 1990, on la voit dans Germinal, tourné dans son Nord natal, mais aussi Les Enfants du marais ou Un crime au paradis. Elle travaille moins dans les années 2000, puis Dany Boon fait appel à elle pour la mamie qui chante Dors mon p'tit Quinquin dans son Bienvenue chez les Ch'tis.
Après d'autres rôles de "mamie" dans Une mère ou Arrêtez-moi, elle apparaît pour la dernière fois à l'écran dans l'épisode 2 de la saison 1 de Baron noir, dans laquelle elle retrouve Kad Merad huit ans après l'avoir ému dans Bienvenue chez les Ch'tis.
Elle s'éteint le 17 février 2023 à 92 ans.